Finite pseudocomplemented lattices and 'permutoedre'

We study finite pseudocomplemented lattices and especially those that are also complemented. With regard to the classical results on arbitrary or distributive pseudocomplemented lattices the finiteness property allows to bring significant more precise details on the structural properties of such lattices. These results can especially be applied to the lattices defined by the "weak Bruhat order" on a Coxeter group (and for instance to the lattice of permutations, called in French "le treillis permutoèdre") and to the lattice of binary bracketings. Résumé Soit T un treillis avec plus petit élément noté 0 ; l'élément t de T a un inf-pseudocomplément, noté g(t), si g(t) est le plus grand élément de l'ensemble des x de T tels que x∧t = 0 ; T est inf-pseudocomplémenté (IPC.) si tout élément de T a un inf-pseudocomplément. On définit dualement la notion de sup-pseudocomplément f(t) de l'élément t et de treillis sup-pseudocomplémenté (SPC) et par conjonction des deux propriétés IPC et SPC celle de treillis pseudocomplémenté. Ces treillis ont surtout été étudiés dans des cas où ils sont distributifs et infinis (treillis de Brouwer ou d' Heyting, treillis de Stone...). Notre intérêt pour le cas fini provient-entre autres-de ce que le "treillis permutoèdre"(Guilbaud et Rosenstiehl 1971), i.e. l'ensemble des permutations d'un ensemble fini muni de l'"ordre faible de Bruhat", est un treillis pseudo complémenté. Dans le cas d'un treillis IPC la classique correspondance de Galois associée à l'application g d' inf-pseudocomplémentation permet de montrer que l'ensemble des inf-pseudo compléments a une structure de treillis booléen (Frink 1962). Dans le cas fini, nous donnons d'abord une caractérisation constructive des inf-pseudocompléments permettant de retrouver ce résultat. Nous montrons ensuite que pour un treillis complémenté les propriétés d'être IPC ou SPC sont équivalentes. Nous décrivons ensuite de façon approfondie la structure des treillis complémentés pseudocomplémentés, ces derniers résultats s'appliquant au treillis permutoèdre et au treillis des parenthésages.